Il Campionamento

Il processo di campionamento è di enorme importanza ai fini della realizzazione dei dispositivi digitali per le telecomunicazioni. Il contenuto del segnale campionato risultante dipende dalla relazione fra la frequenza di campionamento impiegata e le componenti minime e massime di frequenza del segnale analogico in ingresso.
I segnali a tempo discreto spesso sono una versione campionata di segnali a tempo continuo; analogamente i segnali e dati numerici derivano da una quantizzazione di campioni. Ciò è dovuto al fatto che l’elaborazione di segnali analogici si può eseguire vantaggiosamente operando preventivamente una conversione analogica/numerica o, sinteticamente conversione A/D, sulle forme d’onda, elaborando poi numericamente le sequenze così ottenute ed effettuando infine, se necessario, una conversione numerico/analogica o sinteticamente conversione D/A.
In ipotesi molto bene approssimate in pratica, una forma d’onda è adeguatamente rappresentata dai suoi campioni: nel prosieguo si stabilirà innanzi tutto quali debbano essere tali ipotesi e si mostrerà come la forma d’onda possa essere ricostruita a partire dai propri campioni (Teorema del campionamento).
 

Campionamento e Ricostruzione
 

Si consideri una forma d’onda xa(t), vediamo di stabilire se e in quali ipotesi la sequenza dei suoi campioni x(n)=xa(nTc), con -∞<n<∞, rappresenti il segnale tempo continuo xa(t) senza alcuna perdita di informazione; ovvero, in modo equivalente, se ed in quali condizioni sia possibile ricostruire esattamente xa(t) a partire da x(n): Tc e detto periodo di campionamento ed il suo reciproco fc=1/Tc è la frequenza di campionamento.
Campionamento ideale: la versione campionata idealmente di una forma d’onda xa(t) è il segnale:

  (1)

e che il campionamento ideale è schematizzabile come il prodotto di xa(t) per il treno periodico di impulsi di Dirac (o impulsi matematici):
 

(2)

come illustrato in fig.1.

Figura 1: Campionamento ideale uniforme(3)

Ricordando inoltre che, per le proprietà della trasformata di Fourier, ad un campionamento nel dominio del tempo corrisponde una replicazione (periodizzazione) in frequenza, si ha che lo spettro di x_δ(t) vale:

(3)

Dunque lo spettro del segnale campionato idealmente è costituito da repliche dello spettro di xa(t) traslate di kfc = k/Tc e scalate in ampiezza secondo il fattore 1/ Tc = fc.
La fig. 2 fornisce l’interpretazione grafica della precedente relazione: precisamente la fig. 2a mostra lo spettro di un segnale x_a(t) con banda B, la fig. 2b rappresenta lo spettro del segnale campionato nel caso che le repliche di X_a (f) non si sovrappongono (sovracampionamento), essendo soddisfatta entro un certo margine la condizione di Nyquist:

(4)

La fig. 2c si riferisce invece al caso di campionamento a frequenza di Nyquist f_c=2B, mentre la fig. 2d è relativa al caso in cui tale condizione non sia soddisfatta (sottocampionamento).

Figura 2: Analisi del campionamento nel dominio della frequenza

Dall’analisi in frequenza del campionamento segue che, se il segnale è a banda limitata ed è soddisfatta la condizione di Nyquist, allora x_a(t) può essere ricostruito dalla sua versione campionata x_δ(t). Se invece il segnale non è a banda limitata o se, pur essendolo, le disuguaglianze espresse dalla (4) non sono soddisfatte, allora le repliche di X_a(f) si sovrappongono, come mostrato in fig. 2d, e quindi la ricostruzione non è più possibile: si dice allora che il segnale campionato è affetto da aliasing. La minima frequenza di campionamento per cui un segnale con banda B può essere ricostruito senza dar luogo ad aliasing è pari a f_c = 2B e viene detta frequenza o cadenza di Nyquist.
In conclusione sussiste il seguente:
Teorema del Campionamento Uniforme (o di Shannon):
Un segnale analogico x_a(t) è rappresentato dai suoi campioni presi con passo costante T_c, ovvero con cadenza f_c = 1/T_c, se:
- il segnale xa(t) è a banda rigorosamente limitata, ovvero se il suo spettro soddisfa la condizione   ;
- la cadenza di campionamento è maggiore o uguale a quella di Nyquist, cioè f_c≥2B.
Pertanto, se x(t) è un segnale con spettro con banda B limitata (diverso da zero per le frequenze entro [-B, B]), allora per ogni scelta del passo di campionamento Tc≤1/2B, x(t) ammette lo sviluppo in serie:
 

 (5)

Il risultato espresso dalla (5) è il medesimo al quale eravamo giunti in precedenza potendosi la (5) riscrivere nel modo seguente:

(6)

che, nel dominio di Fourier la precedente diventa:
 

(7)

avendo definito la rect nel modo seguente:

Ovvero, dalla (7) si ottiene uno spettro periodico (termine a sinistra in parentesi quadre), periodico di periodo 1/ Tc ovvero fc , limitato nell’intervallo [-f_c/2, f_c/2] dal prodotto per la funzione 

• Esempi di segnali, banda occupata e minima frequenza di campionamento:

a. segnale vocale telefonico: B = 4 KHz, fc = 8 KHz

       b. segnale audio qualità CD: B = 22 KHz, fc = 44.1 KHz

Considerazioni conclusive

In conclusione, il teorema del campionamento impone che la frequenza utilizzata per il campionamento debba essere pari al doppio rispetto alla massima frequenza del segnale analogico da campionare 2 f_max, il che assicura la perfetta ricostruzione del segnale analogico a partire dai singoli campioni. La frequenza 2 f_max è chiamata frequenza di Nyquist. E’ importante che la frequenza di campionamento abbia sempre un valore superiore rispetto alla frequenza di Nyquist in modo tale da evitare il noto problema dell’aliasing, ossia della sovrapposizione delle repliche dello spettro, che comporta un’aberrazione irreversibile sul segnale campionato.
Nelle applicazioni pratiche, essendo assai raro il caso di segnali rigorosamente limitati in banda, il campionamento viene effettuato utilizzando una misura di banda efficace tale che l’errore di ricostruzione dai campioni (aliasing) sia trascurabile in quanto comparabile con le altre forme di errore di approssimazione (esempio: quantizzazione e codifica dei campioni con un numero finito di bit), i disturbi additivi (esempio: l’interferenza con segnali utili di altri utenti) ed il rumore termico e di antenna.